La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ha ganado una aceptación casi universal entre los matemáticos modernos, quien rara vez dudan sobre su base. Sin embargo, el camino hacia la creencia en sus principios fundamentales no fue sin contratiempos.
¿Cómo llegan a considerar algo como verdad los matemáticos? A menudo construyen demostraciones basadas en otras existentes, estableciendo conexiones entre afirmaciones ya probadas. Cada una de estas demostraciones se apoya en las anteriores, formando un sólido sistema estructural. Pero al final, hay ciertas verdades que son simplemente aceptadas como tales.
Ese es el papel de los axiomas, las reglas fundamentales sobre las cuales se asienta casi toda la matemática moderna. Muchos matemáticos simplemente asumen que su trabajo está basado en sistemas axiomáticos, como la “teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección” (ZFC). Este sistema consta de 10 principios básicos que forman el núcleo del pensamiento matemático actual.
No obstante, una mirada más atenta revela un proceso mucho más complejo y humano para establecer la verdad. Según Penelope Maddy, filósofa de las matemáticas de la Universidad de California en Irvine, “cualquier análisis honesto tendría que reconocer que en el desarrollo de los axiomas de ZFC intervienen consideraciones matemáticas variadas”.
Este proceso comenzó a principios del siglo XX, cuando matemáticos como Georg Cantor buscaron formas más coherentes para comprender las reglas del universo matemático. En 1883, Cantor propuso su “principio del buen orden”, que afirmaba la posibilidad de ordenar cualquier conjunto para tener un elemento mínimo en sus subconjuntos no vacíos.
Este principio condujo a la teoría de conjuntos, pero también enfrentó paradojas inmediatas. El conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos es un ejemplo clásico, que lleva al llamado “paradoja de Russell”.
Ante estas dudas, Zermelo y Fraenkel trabajaron en formas de regular la teoría de conjuntos. En 1904, Zermelo demostró que el principio del buen orden era equivalente a su propio axioma de elección, que permitía elegir un elemento de cada conjunto no vacío.
Esta lista de axiomas, conocida como ZF (Zermelo-Fraenkel), fue perfeccionada y ampliada con el tiempo. En 1930, la versión definitiva incluyó el axioma de elección pero sin demostrar su consistencia.
Alrededor de esa misma época, Kurt Gödel demostró que ningún sistema axiomático puede probar su propia consistencia. Además, cualquier sistema consistente será incompleto, conteniendo enunciados verdaderos que no pueden demostrarse a partir de los axiomas.
En la década de 1960, Paul Cohen demostró que el axioma de elección es “independiente”, sin poder probarse ni ser falso dentro del sistema ZF. Sin embargo, resulta útil, facilitando una gran cantidad de matemáticas adicionales.
Los axiomas de ZFC no son simplemente evidentes u obvios por sí mismos. Como señala Maddy, pueden aceptarse por su capacidad para generar teoremas interesantes. La C (elección) se incorporó al sistema originalmente con esa utilidad en mente.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección es considerada una de las verdades más universales que la humanidad ha formulado. Aunque los físicos puedan imaginar mundos donde las leyes físicas son diferentes, las matemáticas permanecen invariables.
Es una paradoja sin solución: los fundamentos de las matemáticas son universales y sólidos, pero siguen siendo simplemente lo que decidimos creer.