Hoy proponemos un desafío lógico que nos ayudará a determinar las edades de cinco amigas que celebran su cumpleaños en el mismo día. Alicia, Beatriz, Carmen, Diana y Enara son todas del mismo grupo de amigas nacidas ese mismo día, aunque tienen edades distintas.
Las chicas realizan una fiesta conjunta y comienzan a conversar entre ellas:
Se sabe que cada una miente cuando habla con alguien más joven, pero dice la verdad si habla con alguien mayor. Denotamos por A, B, C, D y E las edades de Alicia, Beatriz, Carmen, Diana y Enara respectivamente.
Carmen le dice a Alicia que C = A + 10. Si C fuera menor que A, estaría mintiendo; pero es imposible ya que una mayor no miente cuando habla con alguien más joven. Por lo tanto, C > A, pero esto significa que la afirmación de Carmen debe ser falsa en este caso, concluyendo que:
Carmencita es mayor que Alicia, pero no le lleva 10 años.
Carmen también le dice a Alicia que B < D. Pero como Carmen es mayor, miente sobre esto, por lo tanto:
Diana le dice a Beatriz que D = E + 9. Como D < B, Diana está diciendo la verdad, entonces D > E y:
D = E + 9 (A < C, E < D < B).
Enara le dice a Beatriz que E = A + 7. Como E < B, Enara también está diciendo la verdad, por lo tanto E > A.
E = A + 7 y E > A (A < C, E < D < B, D = E + 9).
Diana también dice que D = A + 16. Usando las anteriores relaciones, concluimos:
D = A + 16 (A < C, A < E < D < B, D = E + 9, E = A + 7).
Beatriz le dice a Carmen que E < C. Si Beatriz fuera mayor que Carmen, estaría mintiendo y sería E > C. Consecuentemente, tendríamos A < C < E < D < B. Pero en el punto anterior, Carmen le dice a Diana que C = D + 6 o C = D – 6. Como C < D, es necesario que C = D – 6. Pero E = D – 9, lo cual contradice la afirmación previa ya que E < C, por lo tanto:
Beatriz debe ser más joven que Carmen (B < C), y en el punto 4. está diciendo la verdad, por lo tanto tenemos que B < C y E < C.
Alicia le dice a Beatriz que B es un 70% mayor que A. Como A < B, Alicia está siendo sincera, entonces:
B = (17/10)A (A < E < D < B < C, D = E + 9 = A + 16 y E = A + 7).
Finalmente, Beatriz le dice a Carmen que C – D = D – E. Como B < C, Beatriz está diciendo la verdad, por lo tanto:
C – D = D – E (A < E < D < B < C, D = E + 9 = A + 16, E = A + 7 y B = (17/10)A). Luego despejando, tenemos.
Aquí es importante notar que la edad de Beatriz debe ser un número entero, por lo tanto, A debe ser múltiplo de 10. Además, como D < B < C, teniendo en cuenta las anteriores relaciones, se obtiene:
A + 16 < (17/10)A < A + 25. Es decir, simplificando esta desigualdad: 16 < (7/10)A < 25, es decir, 160 < 7A < 250. De otra manera, 160/7 < A < 250/7 (o 22 + 6/7 < A < 35 + 5/7). Como A es un entero múltiplo de 10, la desigualdad anterior implica que A = 30. Y entonces:
A = 30, B = 30(17/10) = 51, C = 55, D = 46 y E = 37.
Así las edades de Alicia, Beatriz, Carmen, Diana y Enara son 30, 51, 55, 46 y 37 años respectivamente. ¡Feliz cumpleaños a todas!